تبدیل سوم: فصل تجانس انواع تجانس

Transcript

1 ها تبدیل سوم: فصل تجانس پنجم: بخش میخوانیم بخش این در آنچه تجانس مفهوم تجانس ضابطهی تجانس انواع تجانس ویژگیهای )O αβ, ) مرکز با تجانس ضابطهی متوالی تجانسهای زیر صورت به را آن که میباش د تجانس نیس ت ایزومتری قبلی ش ده معرفی تبدیلهای برخالف که کارآمد تبدیلهای جمله از میکنیم. معرفی صفحه آن از A مانند نقطهای به را صفحه در A نقطهی هر که است تبدیلی k نسبت و O مرکز به تجانس تجانس: که: طوری به میکند نظیر میشود.( خودش O مرکز به تجانس تحت O تصویر )یعنی باشد. ثابت O نقطهی یعنی تجانس مرکز الف( k ب( شود. می نامیده k نسبت و O مرکز به A مجانس A صورت این در آنگاه k 0 اگر زیرا k 0 که است واضح میگوییم. نیز مقیاس یا قیاس عامل k عدد به k نسبت به تجانس در نیستیم. مواجه تبدیل با اصال و است منطبق برO نقاط تمام تصویر پس میشود. منطبق O بر A نتیجه در و 0 که طوری به دارند قرار راست خط یک روی A و AO, نقاط آنگاه باشد k نسبت با O مرکز به A مجانس A اگر ن - :هجیت. k باشد منفی k اگر و میگوییم مستقیم را تجانس و بوده O طرف یک در A و A نقاط آنگاه باشد مثبت k تجانس در اگر - مینامیم. معکوس را تجانس و بوده O طرفین در A و A نقاط آنگاه زیرا: است. k نسبت با O مرکز به A نقطهی مجانس A آنگاه باشد k نسبت با O مرکز به A مجانس A اگر - k k باید سراسری کنکور حتی و تستی آزمونهای در ولی نمیشود مطرح سؤالی آن از نهایی امتحان در و است نشده معرفی معکوس تجانس درسی کتاب در - باشید. آشنا مفهوم این با

2 9 اه لیدبت :موس لصف نقطههای A و O در صفحه داده شدهاند. مجانس نقطهی A به مرکز O را با نسبتهای k و k رسم کنید. :لحهاراگر A مجانس A به مرکز O با نسبت باشد آنگاه. بنابراین کافیست از O به A وصل کرده سپس را به اندازهی خودش امتداد دهیم تا به A برسیم. اگر A مجانس A به مرکز O با نسبت - باشد آنگاه بنابراین باید از O به A وصل کرده در س مت دیگر O پارهخط را به اندازهی سهبرابر خودش امتداد دهیم تا به A برسیم. اگر نقاط M و N به ترتیب مجانسهای دو نقطهی M و N در تجانس به مرکز O ونسبت k باشند با فرض 6 MN فاصلهی دونقطهی M و N راتعیینکنید. : حلهاراگر M مجانس M به مرکز O با نسبت باشد آنگاه باشد OM و اگر N مجانس N به مرکز O با نسبت OM. ON با توجه به این روابط نقاط M و N را در شکل آنگاه ON مشخص میکنیم. داریم: M N ON OM ON OM ( ON OM) MN () 6 4 مجانس هر شکل را به مرکز O با نسبت داده شده رسم کنید. الف( ب( :لحهارالف( مجانس هر یک از رئوس مستطیل را به مرکز O و نسبت تجانس k بهدست میآوریم. برای این منظور از مرکز O به رئوس مستطیل وصل کرده وسط هرکدام از پارهخطهای حاصل را به دست میآوریم. حال مانند شکل مقابل نقاط بهدست آمده را بهترتیب به یکدیگر وصل میکنیم. ب( ب رای به دس ت آوردن مجان س هر رأس مثلث به مرکز O و نس بت تجانس k از مرکز O به آن رأس وصل کرده از طرف مخالف آن را به ان دازهی دو برابر خودش امتداد می دهی م. در نهایت نقاط حاصل را به ترتیب به هم وصل میکنیم.

3 9 کنید. رسم نسبت با P مرکز به را PQR مثلث مجانس 4 4 R و Q نقاط مجانس تعیین برای و میباشد خودش P نقطهی :لحهارمجانس تا دهیم. امتداد خودشان اندازهی به را PR و PQ باید نسبت با P مرکز به PQR مجانس PQ R مثلث صورت این در برسیم R و Q نقاط به بود. خواهد نسبت با مربع اقطار تالقی نقطهی مرکز به ABCD مربع مجانس 5 کنید. رسم را 5 وسطهای و باشد ABCD مربع قطر دو تالقی محل O :لحهاراگر ABCD آنگاه بگیریم نظر در D و C B A را OD و OC OB نسبت و O مرکز به ABCD مربع مجانس است. گرفت. نتیجه را زیر نکتههای میتوان تجانس تعریف و قبل مسألههای از :هتک میگوییم. انبساط را تجانس شرایط این در دلیل همین به است شکل خود از بزرگتر شکل تصویر < k تجانس در ناگر میگوییم. انقباض را تجانس شرایط این در دلیل همین به است شکل خود از کوچکتر شکل تصویر > k تجانس در اگر میگوییم. همانی تبدیل آن به که میشود تصویر خودش به نقطه هر k تجانس در اگر دوران یا مرکزی بازتاب همان k نسبت با تجانس پس دارد. قرار آن تصویر و نقطه هر وسط تجانس مرکز k تجانس در اگر است. تجانس مرکز به درجه 80 تجانس ویژگیهای میشویم. آماده بحث به ورود برای مسأله دو با بپردازیم تجانس ویژگیهای به آنکه پیشاز است. مفروض C( 5, ) و B(,) A( 4,) رئوس با ABC مثلث 6 6 کنید. رسم k نسبت و,)O 00 ) مرکز به را مثلث این مجانس الف( چرا انقباض یا است انبساط )الف( قسمت تجانس ب( کنید. مقایسه هم با ضلع شیب و ضلع طول نظر از را تصویرش و مثلث ج( O به C و B A نقاط از کدام هر از مختصات دستگاه در :لحهارالف( امتداد O طرف از آن طول نصف اندازهی به را پارهخط کرده وصل بیاید. دست به نقطه سه تصویر تا میدهیم A( 4,) A (, ) B(,) B (, ) C(, 5) C ( 5, ) است. شده کوچک شکل که میبینید است. انقباض تجانس این پس > k تجانس این در ب(

4 94 لصف :موس لیدبت اه داریم: میکنیم. مقایسه BC و AC و AB پارهخطهای طول با را BC و AC AB پارهخطهای طول ج( AB ( + 4) + ( ) 6, A B ( ) + ( + ) AC ( 5+ 4) + ( ) 8, A C ( 5 ) ++ ( ) BC ( 5 ) + ( ) 0, B C ( 5 + ) ++ ( ) AB AC BC داریم ولی نیست ایزومتری تجانس این میشود دیده که همانطور AB AC BC داریم: میکنیم. مقایسه تصاویرشان شیب با را پارهخطها شیب حال ya yb ya y + m B AB 0, ma B 0 AB A B x x 4 x x + A B A B ya yc ya y + m C AC, ma C AC A C xaxc 45 9 xa xc yb yc yb y + m C BC, mb C BC B C xbxc 5 xb xc + 5 میکند. حفظ را خط شیب تجانس این میشود دیده که همانطور رد اولیه پارهخط اندازهی حاصلضرب برابر اندازهاش که آن با موازی است پارهخطی پارهخط هر مجانس کنید ثابت 7 7 میباشد. تجانس نسبت قدرمطلق نیا در میباشد k نسبت با O مرکز به AB پارهخط مجانس AB میکنیم :لحهارفرض داریم:. OB kob و k صورت OB u²iu#á¾ã #u k AB A B A B, k OB AB برابر آنها اندازههای نس بت و اس ت خودش با موازی پارهخطی پارهخط هر مجانس بنابرای ن میباشد. تجانس نسبت قدرمطلق کردهایم. ثابت کلی حالت در بودیم دیده مثال یک با خاص حالت در آن از پیش مسألهی در که را نتیجهای همان قبل مسألهی در.دنک یم تبدیل خودشان با موازی پارهخطهایی به را آنها و میکند برابر k را پارهخطها همهی طول k نسبت با تجانس تبدیل پس مساوی نظیر به نظیر هم با ضلعیها چند زاویههای هم که میشود باعث تجانس یک تحت آن تصویر و ضلعی چند یک در ویژگی این میکند. تبدیل آن با متشابه ضلعی چند به را ضلعی چند یک تجانس یعنی باشد برابر نظیر به نظیر اضالع همهی نسبت هم و باشند تجانس: نویژگیهای :هتک میکند. حفظ را خط شیب تجانس - است. خودش نسبتی هر با تجانسی هر تحت مرکز مجانس یعنی میماند. ثابت تجانس مرکز تجانس تحت - میکند. حفظ را شکل جهت تجانس -. k که حالتی در مگر نمیکند حفظ را مساحت یا طول تجانس 4- است. متشابه خودش با نسبت k با شکل هر مجانس زیرا میدهد. تغییر k ضریب با را مساحت و ضریب k با را طول 5 -تجانس هستند. همخط تجانس مرکز و مجانسش با نقطه هر عبارتی به همرسند. تجانس مرکز در میکنند وصل هم به را نظیر نقطههای که خطهایی 6- میآیند. دست به مستقیما تجانس تعریف از )6( و )( ویژگیهای ش دهاند. بیان قبل مس ألهی به توجه با )5( و )4( )( ویژگیهای است. بیان قابل کردهایم رسم تاکنون که شکلهایی به توجه با نیز )( ویژگی

5 95 لزومی متشابه چندضلعی دو ولی متشابهاند باشند یکدیگر مجانس که چندضلعی دو هر نقطه هر که خطهایی مثلث دو این در روبهرو. شکل مثلث دو مانند باشند یکدیگر مجانس ندارد متشابه هم با غیرهمنهشت چندضلعی دو اگر البته نیستند. همرس میکنند وصل تصویرش به را بود. خواهند یکدیگر مجانس باشند یکدیگر موازی نظیر به نظیر آنها اضالع و باشند گزینه کدام دهاند. ش تبدیل B (, 6 0 ) و A (,) 60 نقاط به )B 7, ) و )A, ) نقاط k بت نس و O مرکز به تجانس تستتستدر است درست k 5, O(, 0 ) )4 k 5, O(, 4 ) ) k 5, O(, ) ) k 5, O(, 5 ) ) و AA خطوط معادلهی اگر بنابراین میکنند. قطع تجانس مرکز در را یکدیگر میکنند وصل هم به را نظیر نقاط که خطوطی تجانس پدر :خسا داریم: میآید. بهدست است آنها تالقی نقطهی همان که O تجانس مرکز دهیم قطع هم با را آنها سپس نوشته را BB ya ya maa 0 xaxa 6 y y0 mx ( x0) y ( x) y+ x 6 yb y m B BB 7 0 xbxb 6 y y0 mx ( x0) y 7 ( x) y x 4 y+ x 6 x, y 5 O(, 5) تجانس مرکز y x 4 k آوردن بهدست برای بنابراین است. k تجانس نسبت برابر AB نسبت ضمن در AB میکنیم: عمل زیر بهصورت AB ( 6 6) + ( 0 0) 0 k AB 0 5 AB ( ) + ( 7 ) 4 AB 4 است. درست )( گزینهی بنابراین مثلث محیط و احت مس کردهایم. مجانسیابی مقیاس عامل و O مرکز به بت نس را ضلع به اویاالضالعی متس تستتستمثلث است کدام برابر ترتیب به تصویر 8, 7 )4 8, ) 8, ), ) مثلث محیط میدانیم میش ود. برابر k مس احت و برابر k محیط k نس بت با تجانس در گفت میتوان باال نکتهی به توجه پبا :خسا نوشت: میتوان پس است. a 4 برابر آن مساحت و a برابر a ضلع به متساویاالضالع اولیه مثلث محیط k 6 مجانس مثلث محیط 6 8 اولیه مثلث مساحت k ( ) 4 مجانس مثلث مساحت 7 است. درست )4( گزینهی بنابراین

6 96 لصف :موس لیدبت اه 8 مجانس میباشد. O مرکز به Q مجانس Q روبهرو شکل در 8 کنید. رسم O مرکز به نسبت را PQR مثلث 9 زا است. پارهخط آن خود موازی پارهخط هر مجانس :لحهارمیدانیم میآوریم. بهدست را P و R رئوس مجانس کرده استفاده نکته این رسم QR موازی خطی Q از و کرده وصل R به O از منظور این برای کند. قطع R در را OR پارهخط امتداد تا میکنیم رس م QP موازی خطی Q از و کرده وصل P ب ه O از همچنی ن PQR مثلث کند. قطع P در را OP پارهخ ط امتداد تا میکنی م است. O مرکز به PQR مثلث مجانس کنید. رسم را k نسبت و A مرکز به C دایرهی مجانس دارد. قرار )C,O (R دایرهی روی A نقطهی 9 دایره مرکز مجانس است کافی دایره یک مجانس رسم :لحهاربرای رسم دایرهای kr شعاع و شده پیدا نقطهی مرکز به آورده بهدست را مطابق دارد. قرار COR (, ) دایرهی روی A نقطهی اینجا در کنیم. میدهیم امتداد R اندازهی به را آن کرده وصل O به A از شکل ترسیم R شعاع و O مرکز به دایرهای برسیم. O نقطهی به تا هب C دایرهی مجانس C دایرهی شکل مطابق ). ) میکنیم است. نسبت و A مرکز گفت: میتوان دقیقتر طور به هستند. یکدیگر مجانس نوعی به دارند هم به نسبت که وضعیتی به توجه با حال هر در دایره ندو :هتک دو شعاعهای نسبت و تجانس مرکز خطالمرکزین و خط این تالقی محل باشند خارجی مشترک مماس دارای و نابرابر دایره دو اگر - است. مستقیم تجانس )( شکل مانند حالت این در میباشد. تجانس نسبت دایره دایره دو شعاعهای نسبت و تجانس مرکز خطالمرکزین و خط این تالقی محل باشند داخلی مشترک مماس دارای دایره دو اگر - است. معکوس تجانس )( شکل مانند حالت این در میباشد. تجانس نسبت قدرمطلق دایره دو شعاعهای نسبت تجانس نسبت قدرمطلق هم باز نباشند رسم قابل خارجی و داخلی مشترک مماس خطوط از هیچکدام اگر - آورد. بهدست هم به نسبت دایره دو وضعیت به توجه با آنرا میتوان که است دایره دو المرکزین خط روی نقطهای تجانس مرکز ولی R نسبت با مستقیم تجانس )(: شکل R نسبت با معکوس تجانس )(: شکل R R مرکز تا آنها مستقیم تجانس مرکز فاصلهی بدانیم هم مجانس را دایره دو این اگر خارجاند. مماس و 4 شعاعهای به دایره تستتستدو است چقدر بزرگتر دایرهی 6 )4 ) 6 ) 4 ) برخورد محل آنها مس تقیم تجانس مرکز و یکدیگرند مجانس نامس اوی دایرهی دو پمیدانیم :خسا ود مستقیم تجانس مرکز P شکل در اس ت. خطالمرکزین با آنها خارجی مش ترک مماسهای داریم: موازیند OT و OT شعاعهای چون حال است. دایره u²iu PO O OT O T T PO Rn¼ #nj# Ã ŸU PO PO 4 PO OT PO 4 PO 4 OO OO R+ R 6 6 OP PO PO است. درست )( گزینهی بنابراین

7 97 تجانس ضابطهی است. D(x, y) (k x, ky) صورت به k نسبت و O(, 00 ) مرکز به تجانس ضابطهی نقطهی k تجانس نسبت و,)O 00 ) مرکز به را Axy,) ) مجانس :تابثااگر داریم: کنیم فرض A ( x, y ) k. k داریم: H مثلث در در شکل به توجه با طرفی از u²iu H : AH AH OH AH OH A H داریم: شکل روی شده مشخص مقادیر طول و )( رابطهی به توجه با حال x y x kx A ( x, y ) A ( kx, ky) k x y y ky است. Tx (, (y (kx, ky) صورت به k نسبت و مبدأ مرکز به تجانس ضابطهی پس آن. موازی است خطی k نسبت با,)O 00 ) مرکز به هرخط مجانس کنید ثابت یشور به آنرا تجانس ضابطهی از استفاده با حاال دیدهایم. تجانس ویژگیهای از یکی عنوان به قبال را مسأله :لحهاراین کمک به میگیریم. نظر در را H(x, (y k),x ky) ضابطهی با تجانس و :d ax + by + c 0 خط میکنیم. اثبات دیگر 0 میآوریم: بهدست را d خط مجانس متغیر تغییر x x kx x k ÃÀjÂ #nho d#ˆi#nj x y a( ) + b( ) + c 0 ax + by + kc 0 ky y y y k k k میباشد. خودش موازی d خط مجانس پس است d خط موازی ax + by + kc 0 خط خط یک تصویر معادلهی تعیین برای یعنی است. ax + by+ kc 0 خط k نسبت با مبدأ مرکز به ax + by + c 0 خط نمجانس :هجیت کنیم. برابر k را خط آن ثابت عدد است کافی تجانس یک تحت چهارضلعی این تصویر احت مس ت. اس مفروض D(, 0 ) و C( 4, ) B( 4, ) A(, 0 ) رئوس با ABCD ی تستتستچهارضلع است کدام Dxy (, ) ( x+, y ) تبدیل تحت 64 )4 8 ) ) 6 ) :خسا بنابراین است نسبت با تجانس یک ضابطهی که میرسیم Txy,) ) (,x (y به کنیم حذف را ثابت اعداد D تبدیل در پاگر نمیدهد تغییر را شکل مساحت و است ایزومتری انتقال میدانیم میباش د. نس بت با تجانس یک و انتقال یک ترکیب D تبدیل میکند. برابر چهار را چهارضلعی مساحت D تبدیل بنابراین میکند برابر را شکل مساحت نسبت با تجانس و S 4S ABCD 4() 4 64 داریم: پس میباشد 4 ضلع به مربعی ABCD چهارضلعی شکل به توجه با است. درست )4( گزینهی بنابراین

8 98 لصف :موس لیدبت اه )O,α (β مرکز با تجانس ضابطهی. k میدانیم تجانس تعریف طبق آنگاه باشد k نسبت با )O αβ, ) مرکز به A نقطهی مجانس A نقطهی صورتیکه در نوشت: میتوان پس است A O برابر بردار مختصات طرفی از k A O k(a O) A ka (k ) O :لاثم میآید. بهدست زیر صورت به k نسبت و )O, ) مرکز به تجانس ضابطهی Axy A O ( A O) A A O (, ) A ( x, y) (, ) A ( x 4, y6) است Hxy (, ) ( x4, y6 ) صورت به تجانس این ضابطهی پس است کدام b است. y + ax b صورت به نسبت و (, 4 ) مرکز به تجانس تحت y+ x خط تصویر تستتستمعادلهی 90( ریاضی- )سراسری 5 )4 ) صفر ) ) :خسا,)O 4 ) مرکز به Axy,) ) مجانس A کنید فرض میکنیم. تعیین را k نسبت و,)O 4 ) مرکز به تجانس ضابطهی پابتدا داریم: باشد k نسبت و A O ( A O) A A O A ( x, y) (, 4) A ( x, y4) بهدس ت زیر صورت به را خط مجانس متغیر تغیی ر با حال اس ت. Hxy,) ) ( x, 4y ) تجانس این ضابطهی بنابرای ن میآوریم: x x x x + y+ x ˆi#nj y + 4 ( x + + ) y + 4+ x + 6 y + x 0 y y y + ÃÀj#Â #nho # 4 4 y است. b 0 و a میگیریم نتیجه y + ax b خط با آن مقایسهی با است. y+ x 0 خط تصویر معادلهی پس است. درست )( گزینهی بنابراین متوالی تجانسهای نقطهی k نسبت با O نقطهی همان مرکز به A نقطهی مجانس و باشد A نقطهی k نسبت با O مرکز به A نقطهی مجانس ناگر :هتک است. kk نسبت با O مرکز به A نقطهی مجانس A آنگاه باشد A k k k است. kk نسبت با O مرکز به A مجانس A k :تابثا حاصلضرب مساوی نس بتی و مرکز همان با تجانس ی مختلف نس بتهای با مرکز هم تجانس چند ترکیب عبارتی به میباشد. تجانسها آن نسبتهای

9 99 تستتستاگر نقطهی A مجانس A با نسبت باشد و مجانس A با همان مرکز و نسبت 6 نقطهی A باشد آنگاه کدام گزینه نادرست است 6 است. ) A مجانس A با نسبت است. ( A مجانس A با نسبت :خسا ) A مجانس A با نسبت 4 است. )4 AA پنج برابر AA است. O به مرکز A مجانس A و چون پاگر O مرکز تجانس باشد چون A مجانس A با نسبت است پس و نسبت 6 است پس 6. داریم: 6 :گزینهی )( A مجانس A با نسبت است. 6 6 :گزینهی )( A مجانس A با نسبت است. : 6 گزینهی )( 4 A مجانس A با نسبت 4 است. AA AA :گزینهی )4( A A 6 5 A A 0 0 AA 0 A A 0AA AA پس گزینهی )4( نادرست و بنابراین پاسخ تست است. تمرین های تشریحی 9 در 595 جدول زیر تجانس به مرکز مبدأ و عامل قیاس k است و نیز B مجانس A میباشد. جدول زیر را کامل کنید )منظور از تجانس انقباض یا انبساط است(. k نوع تجانس ضابطه A B (, 4) x y Dxy (, ) (, ) (, ) (, 6 ) (,) 0 (,) 0 ( 4, 5) (, 5 )

10 00 لصف :موس لیدبت اه کنید. تعیین را تجانس مرکز از Dxy (, ) ( x, y) تجانس در A(, ) نقطهی مجانس 9 فاصلهی 696 نسبت با یکبار مربع قطرهای تالقی نقطهی O مرکز به را ABCD مربع 9 مجانس 797 نسبت و کنید رسم نسبت با دیگر بار و کنید. تعیین را آمده بهدست مربع دو مساحتهای به ABC مساحت نسبت OB OB و میباشد O مرکز به ABC مثلث مجانس ABC مثلث چرا معکوس یا است مستقیم تجانس مرکزی 9 تقارن 999 آورید. بهدست را ABC نسبت و مرکز حالت این در و یکدیگرند مجانس صورتی چه در یکدیگرند مجانس صفحه یک در AB و AB پارهخط دو 000 آیا کنید. مشخص را تجانس مرکز به تجانس تبدیل در آن تصویر مساحت اگر میباشند. مربع یک رأسهای مختصات,)C 0 ) و,)B ),)A 0 ),)O 00 ) 00 نقاط کنید. رسم را آن و یافته را مربع رئوس تصویر مختصات و k مقدار باشد مربع واحد 6 مساوی k نسبت با و O ضلع به متساویاالضالع 00 مثلث نسبت به تجانس تحت را 7 ضلع به منتظمی ضلعی 00 شش کنید. تعیین را x کنید. تعیین را حاصل شکل مساحت کردهایم. تصویر Txy,) ) (, (y تبدیل تحت را حاصل شکل محیط و مساحت نمودهایم. تصویر O (,4 ) مرکز و کنید. تعیین را k 4 نسبت با مثلث این مجانس مساحت هستند. قائمالزاویه مثلث یک رأس سه,) ) و ( 7,) ( 5, ) 004 نقاط y x +5 معادلهی به d 005 خط کنید. رسم را آنها و آورید بهدست x y را مقیاس عامل ثانیا آورید. بهدست Pxy,) ) (, ) تبدیل تحت را آن تصویر اوال است. مفروض بیابید. k تجانس نسبت و مختصات مبدأ مرکز به تجانس در را زیر خطهای تصویر 006 )الف D: x y 5, k )ب D: 4y+ 5x 7 0, k آورید. بهدست را d خط مجانس معادلهی میگذرد. (, ) نقطهی از :d +x +4y 0 خط تصویر تجانس یک 007 در است چقدر a آنگاه باشند یکدیگر مجانس d : ax + 5y + c 0 و d: x y+ 6 0 خط دو 008 اگر بیابید. را تجانس نسبت باشد مختصات مبدأ مرکز به تجانس در +x y خط تصویر +x y 0 خط 009 اگر را H( x, y) ( mx,( m) y) تجانس تحت مربع این تصویر مساحت هستند. مربع یک مقابل رأس دو B(, 0 ) و A(, ) 0 نقاط آورید. بهدست بیابید. تجانس نسبت و (, 5 ) مرکز به تجانس در را :D x 4y خط مجانس کنید. پیدا را تجانس نسبت آنگاه H( 84, ) (, 57 ) و H( 44, ) (, 7 ) بدانیم H تجانس در اگر آورید. بهدست را تجانس مرکز مختصات آنگاه باشد k نسبت با )A, ) نقطهی مجانس A ),4 5 ) نقطهی اگر آورید. بهدست k 4 نسبت با )O,4 ) مرکز به تجانس در را )A, ) نقطهی 4 مجانس آورید. بهدست k نسبت با )O, ) مرکز به تجانس در را x y 5 خط 5 مجانس بیابید. را تجانس نسبت باشد x 5y خط x 5y+ 0 خط تصویر (, ) مرکز به تجانس در 6 اگر بهدست را کوچکتر دایرهی مرکز از تجانس مرکز فاصلهی یکدیگرند. مجانس واحد 8 خطالمرکزین و 5 و شعاعهای به دایره دو 7 آورید.